Lời mở đầu 
Chia cạnh giấy hình vuông thành n đoạn bằng nhau có thể coi là bài toán cơ bản của Origami và có nhiều cách giải quyết bài toán này. Trong khuôn khổ bài viết, mình muốn giới thiệu cách đơn giản và dễ hiểu nhất. Để từ đó, trên nguyên lí cơ bản của nó, mọi người trước tiên là sẽ giải quyết dễ dàng chuyện chia giấy thành các đoạn bằng nhau, và cao hơn, là hướng đến chia giấy thành những phần có tỉ lệ đặc biệt khác như căn 2 (liên quan đến góc 22.5 độ), căn 3 (liên quan đến góc 15 độ)
Những cách chia giấy thành các đoạn bằng nhau khác mình sẽ giới thiệu khi có dịp tìm hiểu cũng như tổng kết về chúng
Cơ sở lí thuyết
Mục này để dẫn cho dễ hiểu lí do vì sao có cách chia giấy như thế này, chỉ có giá trị tham khảo, mọi người có thể đọc ngay từ phần "Ứng dụng trong chia giấy" nếu thấy không cần thiết
.
Trước tiên xét 1 định lí quen thuộc:
Định lí: Tam giác ABC có phân giác trong AD
Khi đó điểm D chia đoạn BC theo tỉ lệ AB/AC
Ta đưa về dạng đặc biệt hơn:
Tam giác ABC vuông tại đỉnh A có phân giác trong AD
Khi đó điểm D chia đoạn BC theo tỉ lệ AB/AC
tam giác vuông ABC chỉ là trường hợp đặc biệt của tam giác ABC trong định lí 1. Góc A đưa về góc vuông, để gần với 1 góc của 1 tờ giấy vuông hơn
.
Bài toán:
Hình vuông ABCD, E nằm trên AB, AC cắt DE tại M. Hạ MN vuông góc xuống AD.
Ta có thể chứng minh điểm N chia AD theo tỉ lệ AE/AB
Trong đó độ dài AB=BC=CD=DA=a, AE có độ dài x (x<a)
trong hình vẽ, vai trò của tam giác AED giống như tam giác vuông ABC ở trên.
Đường chéo AC cắt DE tại M, đóng vai trò như phân giác AD trong tam giác vuông ABC ở trên
Ứng dụng trong chia giấy
Các thuật ngữ:
-chia 3,5,7,...: chia giấy thành 3,5,7 phần bằng nhau
Đây là phần chúng ta quan tâm, mình cũng xin trình bày ngắn gọn, cũng là cách mà có thể chia giấy thành tỉ lệ đặc biệt mà không qua bất cứ trung gian đặc biệt nào khác(ví dụ chia 15 theo cách phải chia 3 rồi chia 5, trong khi cả 3 và 5 đều đặc biệt là rất khó)
Cũng như chỉ cần quan tâm đến số lẻ, chứ không phải số nguyên tố nữa
Như bài toán hình vuông ABCD đã trình bày, ta sẽ đưa nó về ngôn ngữ gấp giấy
:
Cạnh AB được chia thành a phần, lấy AE=x phần. Gấp đường DE giao với đường AC tại M, gấp MN vuông góc với với AD.
Ta sẽ có N chia AD thành NA và ND, trong đó NA/AD=x/a
Như vậy khi chia AB thành được a phần bằng nhau, lấy AE=x phần, ta sẽ chia AD thành được a+x phần bằng nhau(khác với a phần của AB)
Kết luận: Muốn chia 1 cạnh giấy thành n phần bằng nhau, trong đó n=a+x (x<a), ta chỉ cần giải quyết việc chia cạnh đó thành a phần bằng nhau
Trong phần sau, mình sẽ gọi lấy đoạn AE=x phần từ AB=a phần bằng nhau, cả việc AC cắt DE tại M, hạ MN vuông góc xuống AD chung là
lấy x từ a, cách gọi này mình cũng sẽ dùng nếu có cơ hội viết bài về chia tỉ lệ liên quan đến căn 2, căn 3,...
Vấn đề giờ để cách chia đơn giản nhất, ta sẽ phải tách n=a+x sao cho a dễ chia nhất
Đó chính là chọn a là luỹ thừa của 2 (a=2[sup:1mzbvjhi]i[/sup:1mzbvjhi], như 2,4,8,16,32,... Vì chia 1 cạnh thành 2,4,8,16,32,... phần luôn là đơn giản nhất.
Để đảm bảo x<a thì ta chọn a là luỹ thừa lớn nhất của 2 mà nhỏ hơn n.
Kết luận: Để chia giấy thành n phần bằng nhau đơn giản nhất, ta tách n=a+x trong đó a là luỹ thừa lớn nhất của 2 mà nhỏ hơn n
Các ví dụ
Chia giấy thành 3 phần bằng nhau:
ta có 3=2+1 (2 là luỹ thừa lớn nhất của 2 mà nhỏ hơn 3
)
tức ta chia giấy thành 2 phần, sau đó
lấy 1 từ 2
Cách chia
Chia giấy thành 5 phần bằng nhau:
Ta có 5=4+1 (4 là luỹ thừa lớn nhất của 2 mà nhỏ hơn 5)
tức ta chia giấy thành 4 phần, và
lấy 1 từ 4
Cách chia
Chia giấy thành 7 phần bằng nhau:
Có thể thấy 2 cách chia 3 và 5 trên có đặc biệt là cùng chỉ lấy 1 từ a, dễ nhầm với việc để chia n phần thì phải chia n-1 phần
.
Cách dưới đây sẽ chia 7 mà không cần chia 6
Ta có 7=4+3 (4 là luỹ thừa lớn nhất của 2 mà nhỏ hơn 7)
Tức chia giấy thành 4 phần và
lấy 3 từ 4
Cách chia
Tương tự ta sẽ có các cách chia cho các số lớn hơn:
-chia 9: 9=8+1 : thực hiện lấy 1 từ 8
-chia 11: 11=8+3 : thực hiện lấy 3 từ 8
-chia 13: 13=8+5 : thực hiện lấy 5 từ 8
-chia 15: 15=8+7 : thực hiện lấy 7 từ 8
...
vân vân và vân vân
.
Chú ý
Cái này nhắc thêm thôi
, chứ nó cũng đơn giản, mọi người cũng dễ dàng nhận ra.
Các cách chia ví dụ trên mình chỉ nhắc đến chia các số lẻ
Với bài toán chia giấy thành 24 phần thì như thế nào?
Có thể thấy 24=16+8 , cũng có thể thực hiện
lấy 8 từ 16 .
Nhưng 24= 8 x 3 = 2^3 x 3. tức là ta chỉ cần chia giấy thành 3, rồi chia 8 các phần nhỏ còn lại
. Bản chất của
lấy 8 từ 16 cũng chỉ là
lấy 1 từ 2
Vậy là với các số chẵn ta cứ chỉ cần quan tâm đến việc chia giấy thành ước lẻ lớn nhất của nó
Ví dụ:
24 có ước lẻ lớn nhất là 3: chỉ cần quan tâm đến chia giấy thành 3 phần bằng nhau
20 có ước lẻ lớn nhất là 5: chỉ cần quan tâm đến chia giấy thành 5 phần bằng nhau
30 có ước lẻ lớn nhất là 15: chỉ cần quan tâm đến chia giấy thành 15 phần bằng nhau
...
Hi vọng bài viết không khó hiểu cũng như có thể giúp đỡ mọi người nhiều trong việc gấp và sáng tác
. Hãy thực hành để nhớ nhé
.
